Các dạng toán về định lý Viet

Các bài toán ứng dụng định lý Viet là rất quan trọng trong chương trình đại số THCS và luôn có trong các kì thi tuyển sinh vào lớp 10. Bài viết này xin nêu một vài dạng toán quen thuộc nhằm giúp học sinh củng cố được tốt hơn loại bài tập này.

Bài toán: Cho phương trình x^2 - 2(m+1)x + 3m= 0

a) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt x_1, x_ 2 với mọi m.

b) Tính A = x_1^3+ x_2^3x_1 - x_2 theo m.

c) Tìm để phương trình có hai nghiệm x_1, x_2 thỏa \dfrac{x_1}{x_2} + \dfrac{x_2}{x_1} = 5

d) Tìm hệ thức liên hệ giữa x_1, x_2 không phụ thuộc vào m

e) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x_1^2 + x_2^2 - 6.x_1x_2

f) Lập phương trình bậc hai nhận x_1 + \dfrac{1}{x_2}, x_2+\dfrac{1}{x_1} làm nghiệm.

g) Tìm m để phương trình có hai nghiệm đều dương, hai nghiệm trái dấu.

h) Tìm m để phương trình có một nghiệm bằng ba lần nghiệm kia.

i) Tìm m để phương trình có hai nghiệm thỏa 2x_1- 3x_2 =1

Hướng dẫn giải

a) Ta có: hệ số a = 1 \neq 0\triangle ' = (m+1)^2 - 3m = m^2 - m +1

= \left(m - \dfrac{1}{2}\right)^2 +\dfrac{3}{4} > 0

Suy ra phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt x_1, x_2

b) Theo định lý Viet ta có S = x_1 + x_2 = 2(m+1), P = x_1x_2 = 3m

Ta thấy biểu thức x_1^3 + x_2^3 đối xứng đối với x_1, x_2 (Tức là không đổi khi ta thay x_1 bằng x_2 và ngược lại)

Ta biểu diễn biểu diễn biểu thức theo S và P.

Ta có x_1^3 + x_2^3 = (x_1+x_2)^3 - 3x_1x_2^2 - 3x_1^2x_2

= (x_1+x_2)^3 - 3x_1x_2(x_1+x_2) = S^3 - 3SP

= 8(m+1)^3 - 3.2(m+1)3m = 8m^3 +6m^2 + 6m + 8

Đối với biểu thức x_1 - x_2 là không đối xứng nhưng ta có thể biến đổi như sau: Ta có x_1 - x_2 = \pm \sqrt{(x_1-x_2)^2} =\pm\sqrt{(x_1+x_2)^2 - 4x_1x_2}= \pm\sqrt{S^2-4p}

= \pm \sqrt{4(m+1)^2 - 4.3m} =\pm \sqrt{4m^2 - 4m + 4}

(Tùy theo x_1 > x_2 hay x_1 < x_2 mà ta lấy dấu –  hay + )

Nhận xét: Từ cách tính trên ta có thể tính các biểu thức sau: x_1^2x_2 - x_2^2x_1, \dfrac{x_1}{x_2} -\dfrac{x_2}{x_1},...

c) Với dạng  này (nếu không có câu a) chúng ta phải tìm điều kiện có nghiệm của phương trình trước, rồi sau đó mới áp dụng Viet.

Ta có \dfrac{x_1}{x_2} + \dfrac{x_2}{x_1} = 5

\Leftrightarrow \dfrac{x_1^2+x_2^2}{x_1}{x_2} = 5

\Leftrightarrow \dfrac{(x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2}{x_1x_2} = 5

\Leftrightarrow \dfrac{4(m+1)^2 - 6m}{3m} = 5

\Leftrightarrow m = 4, m = \dfrac{1}{4}

Nhận xét: Đây là bài toán tìm điều kiện của tham số để phương trình có hai nghiệm thỏa một đẳng thức (hoặc một bất đẳng thức) mà biểu thứclà đối xứng đối với hai nghiệm. Ta biểu diễn biểu thức theo m (như câu b)  và giải phương trình (hoặc bất phương trình theo m). (Chú ý là tìm điểu kiện để pt có hai nghiệm trước)

d) Ta có S = x_1+x_2 = 2(m+1) \Rightarrow m = \dfrac{S-2}{2}

Thay vào P ta có P = 3m = \dfrac{3(S-2)}{2} \Leftrightarrow 2P - 3S+6= 0

\Leftrightarrow 2x_1x_2 - 3(x_1+x_2) + 6 = 0

Nhận xét: Ta tính m theo S(hoặc P) sau đó thế vào P (hoặc S) thì sẽ được hệ thức liên hệ giữa S và P hay giữa x_1, x_2

e) Ta có A = x_1^2 + x_2^2 - 6x_1x_2 = (x_1+x_2)^2 - 8x_1x_2

= 4(m+1)^2 - 8.3m = 4m^2 - 20m + 4

= 4m^2 -2.2.5m+25 - 21 = (2m-5)^2 - 21 \ge - 21

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi m = \dfrac{5}{2}

Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng – 21 khi m = \dfrac{5}{2}

Nhận xét: Với bài này ta tìm điều kiện để phương trình có nghiệm, và điều kiện  ảnh hưởng tới cách giải. Trong bài này dấu “=” đạt được khi m thỏa điều kiện, nhưng đối với bài khác làm như thế dấu “=” đạt được khi m không thỏa điều kiện. Khi đó ta sẽ có cách giải quyết khác.

f) Đặt y_1 = x_1+ \dfrac{1}{x_2}, y_2= x_2+\dfrac{1}{x_1}

Khi đó ta có S'=y_1+y_2= x_1+x_2+\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}

= 2(m+1) + \dfrac{2(m+1)}{3m}= \dfrac{6m^2+8m+2}{3m}

P'=\left(x_1+\dfrac{1}{x_2}\right)\left(x_2+\dfrac{1}{x_1}\right)

= x_1x_2+ \dfrac{1}{x_1x_2} + \dfrac{x_1}{x_2}+\dfrac{x_2}{x_1}

= 3m + \dfrac{1}{3m} + \dfrac{4(m+1)^2-2}{3m} = \dfrac{13m^2+8m+3}{3m}

Vậy theo định lý Viet đảo ta có thì y_1, y_2 là nghiệm của phương trình sau: y^2 - \left[\dfrac{6m^2+8m+2}{3m}\right]y+\dfrac{13m^2+8m+3}{3m} = 0

g) Phương trình có hai nghiệm dương khi và chỉ khi:

\left\{\begin{array}{c}{\triangle \ge 0(\triangle ' \ge 0)}\\{S > 0}\\{P > 0}\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c}{m^2-m+1\ge 0}\\{2(m+1) > 0}\\{3m > 0}\end{array}\right. \Leftrightarrow m > 0

Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi P<0 \Leftrightarrow 3m < 0 \Leftrightarrow m < 0

h) Phương trình có nghiệm này bằng ba lần nghiệm kia tức là có hai nghiệm x_1, x_2 thỏa x_1 = 3x_2

Ta có : x_1 + x_2 = 2(m+1), suy ra 4x_2 = 2(m+1) \Rightarrow x_2 = \dfrac{2m+2}{4}

Vậy \dfrac{2m+2}{4} là nghiệm của phương trình. Từ đó ta có:

\left(\dfrac{2m+2}{4}\right)^2 - 2(m+1).\dfrac{2m+2}{4} + 3m = 0

\Leftrightarrow m = 1

Nhận xét: Đây là bài toán tìm m để hai nghiệm của phương trình thỏa một đẳng thức nhưng không đối xứng đối với hai nghiệm (trong câu nàu là x_1 - 3x_2=0.

Trước hết tìm điều kiện đề  phương trình có hai nghiệm, sau đó áp dụng Viet và sử dụng giả thiết để tính một nghiệm của phương trình theo tham số, thế vào phương trình ban đầu ta sẽ tìm được giá trị của tham số.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

%d bloggers like this: