Các phương pháp chứng minh tiếp tuyến

Để chứng minh đường thẳng d là tiếp tuyến của đường tròn (O; R) ta dùng các cách sau đây:

Cách 1 : Chứng minh khoảng cách từ O đến d bằng R. Hay nói cách khác ta vẽ OH \bot d, chứng minh OH = R.

Cách 2: Nếu biết d và (O) có một giao điểm là A, ta chỉ cần chứng minh OA \bot d.

Trên đây là hai cách chủ yếu, ngoài ra còn có các cách sau.

Cách 3: Cách này dựa trên bài toán phụ sau:

  • Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Tia Ax thỏa \widehat{xAB} = \widehat{ACB} (Ax cùng phía với tia AC đối với đường thẳng AB). Khi đó Ax là tia tiếp tuyến của (O).

Cách này thường dùng để chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác.

Cách 3 trên là một ví dụ cho phương pháp chứng minh trùng khít – một phương pháp rất hiệu quả để chứng minh các bài toán đảo. Và phương pháp này cũng được dùng nhiều trong các bài toán chứng minh tiếp tuyến.

Ví dụ 1:

Cho đường tròn (O) đường kính AB. C là một điểm thay đổi trên đường tròn (O) . Tiếp tuyến của (O) tại C cắt AB tại D.Qua O vẽ đường thẳng vuông góc với phân giác góc ODC, đường này cắt CD tại M. Chứng minh rằng đường thẳng d qua M song song với AB luôn tiếp xúc với (O) khi C thay đổi.

Giải:

2-2.jpg

Ta thấy rằng đường thẳng d và (O) chưa có giao điểm nào, do đó ta dùng cách 1 để giải bài toán này.

Vẽ OH \bot d ( H \in d). Ta cần chứng minh OH = OC.

Ta có tam giác DMO cân tại D, suy ra \widehat{DMO} = \widehat{DOM}. Mà \widehat{HMO} = \widehat{DOM}(So le trong).

Nên ta có \widehat{DMO} = \widehat{HMO}.

Từ đó ta có \triangle CMO = \triangle HMO, suy ra OH = OC. Vậy d là tiếp tuyến của (O).

Ví dụ 2 :

Cho tam giác ABC nhọn. Vẽ đường tròn tâm O đường kính BC cắt AB, AC lần lượt tại E và F. BF và CE cắt nhau tại I. Gọi M là trung điểm AI. Chứng minh: MF là tiếp tuyến của (O).

Giải: Ta thấy F là giao điểm của MF và (O). Ta sẽ sử dụng cách 2 để chứng minh. Tức là ta cần chứng minh \widehat{OFM} =90^o.

49-59-1.jpg

Ta chứng minh được I là trực tâm của tam giác ABC.

Trong tam giác vuông AFI có FM là trung tuyến nên MF = FA = BI, suy ra tam giác MFA cân tại M, suy ra \widehat{AFM} = \widehat{FAM}.

Ta cũng có:

\widehat{OFC} = \widehat{OCF}

(Tam giác OCF cân tại O).

Từ đó: \widehat{AFM}+\widehat{OFC}= \widehat{MAF}+ \widehat{OCF}= 90^o. Suy ra \widehat{MFA}=90^o . Vậy OF \bot FM, F \in (O) nên MF là tiếp tuyến của (O).

tải bài tương tự

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

%d bloggers like this: