Một số bài toán hình cần ôn thi lớp 10

a) Cho đường tròn (O) và một điểm A khác O nằm trong đường tròn. Một đường thẳng thay đổi qua A nhưng không đi qua O cắt (O) tại M, N. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN luôn đi qua một điểm cố định.

b) Cho đường tròn (O) và một đường thẳng d không cắt đường tròn. I là điểm di động trên d. Đường tròn đường kính OI cắt (O) tại M và N. Chứng minh MN luôn đi qua một điểm cố định.

Hướng dẫn giải

a) Đường tròn ngoại tiếp tam giác MON cắt tia đối của tia AO tại P. Ta dễ dàng chứng minh được AO. AP = AM. AN.

Mặt khác vẽ đường kính qua của (O) qua A, cắt đường tròn tại D và E. Ta chứng minh được AM. AN = AD. AE = (OD+OA)(OE-OA) = R^2 - OA^2.

Khi đó AP.AO = R^2 - OA^2 \Rightarrow AP = \dfrac{R^2-OA^2}{OA}

AP không đổi và thuộc tia đối của tia AO nên P là điểm cố định.

Vậy (MON) luôn qua điểm P cố định.

b) Đường tròn đường kính OI cắt (d) tại H. Khi đó ta có \widehat{OHI} =90^o. Suy ra H cố định.

Ta có (O) và đường tròn đường kính IO cắt nhau tại M, N nên ta có OI là đường trung trực của MN và ON \bot IN, OM \bot IM.

Gọi K là giao điểm của MN và OI. Khi đó tam giác IOM vuông tại M có MK là đường cao nên: OK.OI = OM^2

MN cắt OH tại Q. Ta có \triangle OQK \sim \triangle OIH (g.g) \Rightarrow \dfrac{OQ}{OI} =\dfrac{OK}{OH}

\Rightarrow OQ = \dfrac{OK.OI}{OH} =\dfrac{OM^2}{OH} không đổi.

Q thuộc tia OH và OQ không đổi nên Q là điểm cố định. Vậy MN luôn qua điểm Q cố định.

Bài 26: (PTNK 2004 – 2005)

Cho tam giác đều ABC và một điểm P nằm trong tam giác. Hạ BD, PE, PF lần lượt vuông góc với AB, BC và AC. Tìm tập hợp các điểm P sao cho DEF là tam giác cân.

Hướng dẫn giải

Ta có tứ giác PEBD nội tiếp đường tròn đường kính BP. Vẽ đường kính EI của (PEBD). Suy ra \widehat{EID} =\widehat{EBD} =60^o; \widehat{ED} =90^o.

Tam giác EDI vuông tại D nên ta có

DE = IE sin EID = BP sin 60^o = BP \dfrac{\sqrt{3}}{2}

Chứng minh tương tự ta có EF =PC \dfrac{\sqrt{3}}{2}; DF =PA\dfrac{\sqrt{3}}{2}

Tam giác DEF cân khi và chỉ khi DE = DF, ED = EF hoặc FD = FE \Leftrightarrow PA = PB, PB = PC hoặc PC = PA \leftrightarrow P thuộc các đường trung trực của AB, BC hoặc AC.

Vậy tam giác DEF cân khi và chỉ khi P nằm trên các đường trung trực của AB, BC và AC của tam giác ABC (Phần nằm trong tam giác ABC)

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

%d bloggers like this: