Bài Toán Tỉ Số Diện Tích Và ứng Dụng (phần 2)

Posted on August 30, 2008 by goldhung

Bài 1: Cho tam giác ABC. M là trung điểm của AB, N là điểm thuộc cạnh AC sao cho AC = AN. Gọi K là giao điểm của BN và CM. Chứng minh KC = 4KM.

Hướng dẫn giải:

Ta có $\dfrac{S_{ABK}}{S_{CBK}} = \dfrac{AN}{CN} =\dfrac{1}{2}$ và $\dfrac{S_{KBM}}{S_{KBA}} =\dfrac{BN}{AB} =\dfrac{1}{2}$

Suy ra $\dfrac{S_{KBM}}{S_{CBK}} =\dfrac{1}{4}$ , suy ra $\dfrac{MK}{CK}=\dfrac{S_{KBM}}{S_{CBK}} =\dfrac{1}{4} \Rightarrow CK = 4MK$

Bài 2: Cho tam giác ABC và điểm O nằm trong tam giác. AO, BO, CO lần lượt cắt BC, AC và AB tại M, N, P. Chứng minh: $\dfrac{AO}{AM} +\dfrac{BO}{BN} +\dfrac{CO}{CP} =2$

Hướng dẫn giải:

Ta có: $\dfrac{AO}{AM} =\dfrac{S_{ABO}}{S_{ABM}} =\dfrac{S_{ACO}}{S_{ACM}} =\dfrac{S_{ABO} +S_{ACO}}{S_ {ABM}+S_{ACM}} = \dfrac{S_{ABO} +S_{ACO}}{S_{ABC}}$

Chứng minh tương tự ta có: $\dfrac{BO}{BN} =\dfrac{S_{ABO} +S_{CBO}}{S_{ABC}}$ và $\dfrac{CO}{CP} =\dfrac{S_{AOC}+S_{BOC}}{S_{ABC}}$

Từ đó suy ra:

$\dfrac{AO}{AM} +\dfrac{BO}{BN} +\dfrac{CO}{CP}$ $=\dfrac{S_{ABO} +S_{ACO}}{S_{ABC}}$ $+ \dfrac{S_{ABO} +S_{CBO}}{S_{ABC}}$ $+\dfrac{S_{AOC}+S_{BOC}}{S_{ABC}} =2$

Bài 3: Cho tam giác ABC, về phía ngoài tam giác dựng hai hình chữ nhật ABDE và ACFG có diện tích bằng nhau. Gọi O là giao điểm các đường trung trực của tam giác ABC. Chứng minh OC đi qua trung điểm của DF.

Hướng dẫn giải:

Ta cần chứng hai tam giác OCD và OCF có diện tích bằng nhau. Vẽ Vẽ OH, OK lần lượt vuông góc với CD và CF(H thuộc CD, K thuộc CF). Ta chứng minh được $OH = \dfrac{1}{2}BC, OK=\dfrac{1}{2}AC$ . Từ đó suy ra:
$S_{OCD} = \dfrac{1}{2}OH.CD =\dfrac{1}{4}BC.CD =\dfrac{1}{4}S_{BCDE}$ và $S_{OCF} =\dfrac{1}{4}S_{ACFG}$
Mà $S_{BCDE} = S_{ACFG}$ nên ta có: $S_{OCD} =S_{OCF}$ . Từ đó ta có: OC đi qua trung điểm của DF