Bài Toán Tỉ Số Diện Tích Và ứng Dụng (phần 2)

Bài 1: Cho tam giác ABC. M là trung điểm của AB, N là điểm thuộc cạnh AC sao cho AC = AN. Gọi K là giao điểm của BN và CM. Chứng minh KC = 4KM.

Hướng dẫn giải:

p2-1.png

Ta có \dfrac{S_{ABK}}{S_{CBK}} = \dfrac{AN}{CN} =\dfrac{1}{2}\dfrac{S_{KBM}}{S_{KBA}} =\dfrac{BN}{AB} =\dfrac{1}{2}

Suy ra \dfrac{S_{KBM}}{S_{CBK}} =\dfrac{1}{4}, suy ra \dfrac{MK}{CK}=\dfrac{S_{KBM}}{S_{CBK}} =\dfrac{1}{4} \Rightarrow CK = 4MK

Bài 2: Cho tam giác ABC và điểm O nằm trong tam giác. AO, BO, CO lần lượt cắt BC, AC và AB tại M, N, P. Chứng minh: \dfrac{AO}{AM} +\dfrac{BO}{BN} +\dfrac{CO}{CP} =2

Hướng dẫn giải:

p2-2.png

Ta có: \dfrac{AO}{AM} =\dfrac{S_{ABO}}{S_{ABM}} =\dfrac{S_{ACO}}{S_{ACM}} =\dfrac{S_{ABO} +S_{ACO}}{S_ {ABM}+S_{ACM}} = \dfrac{S_{ABO} +S_{ACO}}{S_{ABC}}

Chứng minh tương tự ta có:\dfrac{BO}{BN} =\dfrac{S_{ABO} +S_{CBO}}{S_{ABC}}\dfrac{CO}{CP} =\dfrac{S_{AOC}+S_{BOC}}{S_{ABC}}

Từ đó suy ra:

\dfrac{AO}{AM} +\dfrac{BO}{BN} +\dfrac{CO}{CP} =\dfrac{S_{ABO} +S_{ACO}}{S_{ABC}}+ \dfrac{S_{ABO} +S_{CBO}}{S_{ABC}} +\dfrac{S_{AOC}+S_{BOC}}{S_{ABC}} =2

Bài 3: Cho tam giác ABC, về phía ngoài tam giác dựng hai hình chữ nhật ABDE và ACFG có diện tích bằng nhau. Gọi O là giao điểm các đường trung trực của tam giác ABC. Chứng minh OC đi qua trung điểm của DF.

Hướng dẫn giải:
p2-3.png

Ta cần chứng hai tam giác OCD và OCF có diện tích bằng nhau. Vẽ Vẽ OH, OK lần lượt vuông góc với CD và CF(H thuộc CD, K thuộc CF). Ta chứng minh được OH = \dfrac{1}{2}BC, OK=\dfrac{1}{2}AC. Từ đó suy ra:
S_{OCD} = \dfrac{1}{2}OH.CD =\dfrac{1}{4}BC.CD =\dfrac{1}{4}S_{BCDE}S_{OCF} =\dfrac{1}{4}S_{ACFG}
S_{BCDE} = S_{ACFG} nên ta có: S_{OCD} =S_{OCF}. Từ đó ta có: OC đi qua trung điểm của DF

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

%d bloggers like this: