Bài Toán Về Tỉ Số Diện Tích Và Ứng Dụng(Phân1)

Bài toán 1: Cho tam giác ABC, M là một điểm thuộc đường thẳng BC.

a) Chứng minh: \dfrac{S_{ABM}}{S_{ACM}} = \dfrac{BM}{CM}.

b) Gọi I và K là hình chiếu của B và C trên AM. Chứng minh: \dfrac{S_{ABM}}{S_{ACM}} = \dfrac{BI}{CK}.

Giải:

p1-1.png

a) Vẽ AH \bot BC (H in BC). Khi đó ta có:

\dfrac{S_{ABM}}{S_{ACM}}= \dfrac{\dfrac{1}{2} AH. BM}{\dfrac{1}{2}AH.CM} = \dfrac{BM}{CM}

b) Ta có \dfrac{S_{ABM}}{S_{ACM}}= \dfrac{\dfrac{1}{2} AM. BI}{\dfrac{1}{2}AM.CK} = \dfrac{BI}{CK}

Hệ quả 1: Cho tam giác ABC, M thuộc đường thẳng BC thì S_{ABM} = S_{ACM} \Leftrightarrow M là trung điểm BC.

Hệ quả 2: Cho tam giác ABC, và một điểm M bất kì. Khi đó nếu S_{ABM} =S_{ACM} thì AM // BC hoặc AM đi qua trung điểm của BC.

Hệ quả 3: Cho tam giác ABC, G là một điểm bất kì. Khi đó G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi S_{GAB} =S_{GBC} =S_{GAC}.

Bài toán 2: Cho tam giác ABC. D và E là hai điểm thuộc cạnh AB và AC. Khi đó \dfrac{S_{ADE}}{S_{ABC}} =\dfrac{AD.AE}{AB.AC}

Giải:

p1-2.png

Theo bài toán 1 ta có: \dfrac{S_{ADE}}{S_{ABE}}= \dfrac{AD}{AB}\dfrac{S_{ABE}}{S_{ABC}}= \dfrac{AE}{AC}

Suy ra: \dfrac{S_{ADE}}{S_{ABC}} = \dfrac{S_{ADE}}{S_{ABE}}.\dfrac{S_{ABE}}{S_{ABC}} = \dfrac{AD.AE}{AB.AC}.

Chú ý: Kết quả của bài toán vẫn còn đúng nếu D, E thuộc đường thẳng AB và AC.

Hệ quả 1: Nếu hai tam giác ABC và MNP có \widehat{A} = \widehat{M} hoặc \widehat{A} +\widehat{M} =180^o thì \dfrac{S_{ABC}}{S_{MNP}} =\dfrac{AB.AC}{MN.MP}

Hệ quả 2: Tỉ số hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng dạng. Nghĩa là: nếu tam giác ABC và tam giác MNP đồng dạng thì: \dfrac{S_{ABC}}{S_{MNP}} = \dfrac{AB^2}{MN^2}

Trên đây là một vài kết quả về diện tích mà cách chứng minh đơn giản nhưng lại có nhiều ứng dụng khá hay. Sau đây là một vài ví dụ.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

%d bloggers like this: