Một cách nhỏ để tiếp cận bài toán bất đẳng thức(ph1)

Bất đẳng thức là một trong những vấn đề hấp dẫn và lôi cuốn nhất của toán sơ cấp, tuy nhiên cho đến hiện nay khá nhiều bạn học sinh vẫn sợ và không dám tiếp cận nó. Bài viết này nhắm mục đích giúp các bạn có cảm nhận tốt hơn và không sợ BDT nữa, bài viết đặc biệt phù hợp với các bạn học sinh lớp 8, 9 những người mới bắt đầu làm quen với hẳng đẳng thức, căn thức và BĐT.

Trong bài viết này chúng ta chỉ cần những kiến thức cơ bản và óc quan sát tốt để tiếp cận bài toán. Phương pháp trong bài này khá hữu dụng, song dĩ nhiên không thể áp dụng cho tất cả các bài toán. Bên cạnh đó, mặc dù không định nghĩa chính xác, bài viết cũng giúp đỡ cho các bạn HS hiểu thế nào là “biểu thức đối xứng”.

Bài toán 1: Cho a, b, c, d, e là các số thực. Chứng minh rằng:

a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + e^2 \ge ab+ ac+ ad+ ae

(Đây là một bài toán tương đối dành cho HSG lớp 8 )

Hướng dẫn: Chúng ta hãy cùng quan sát:

+ Vế trái là tổng bình phương của 5 số. Có thể thấy biểu thức này đẹp và đều nhau ( các số a, b, c, d, e xuất hiện một lần, hệ số của bình phương là 1)

+ Vế phải là tổng của tích ab, ac, ad, ae. Điều bất thường là a xuất hiện 4 lần; trong khi b, c, d, e xuất hiện 1 lần trong 4 tích trên.  Sự xuất hiện của b, c, d, e là đẹp và đều nhau, duy chỉ có a là bất thường với 4 lần xuất hiện.

Đề ra hướng giải quyết: để có sự tương đồng giữa 2 vế, ta phải làm sao cho a xuất hiện 4 lần, và hệ số là đều nhau. Các đơn giản nhất để làm điều này là phân tích : a^2 = \dfrac{1}{4}a^2 +\dfrac{1}{4}a^2 + \dfrac{1}{4}a^2 + \dfrac{1}{4}a^2

Như vậy ta phải chứng minh bài toán như sau:

a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + e^2 \ge ab+ ac + ad+ ae

\Leftrightarrow \dfrac{1}{4}a^2 +\dfrac{1}{4}a^2 + \dfrac{1}{4}a^2 + \dfrac{1}{4}a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + e^2 \ge ab+ ac+ ad+ ae

\Leftrightarrow (\dfrac{1}{4}a^2+b^2 - ab) + (\dfrac{1}{4}a^2+c^2 - ac)+ (\dfrac{1}{4}a^2+d^2 - ad)

+ (\dfrac{1}{4}a^2+e^2 - ae) \ge 0

\Leftrightarrow (\dfrac{1}{2}-b)^2+ (\dfrac{1}{2}-c)^2+ (\dfrac{1}{2}-d)^2+ (\dfrac{1}{2}-e)^2 \ge 0 (đpcm)

Dấu ” = ” xảy ra khi và chỉ khi \dfrac{1}{2}a= b= c= d= e

Bài toán 2: (Đề thi học sinh giỏi TP lớp 9, 2007 – 2008 )

Cho a, b \ge 1. Chứng minh rằng: a\sqrt{b-1} + b\sqrt{a-1} \ge ab

Hướng dẫn: Chúng ta hãy cùng quan sát.

+ Vế trái là tổng của hai tích a\sqrt{b-1}, b\sqrt{a-1}. Hai tích này sự xuất hiện của a, b là không âm và tương ứng nhau. Có thể thấy sự xuất hiện của a,b ở vế trái là đẹp và đều nhau.

+ Vế phải chỉ có duy nhất 1 tích ab. Dĩ nhiên sự xuất hiện của a,b là đẹp và đểu nhau. Vấn đề đặt ra ở đây là VT có 2 tổng, VP có 1 tổng.

* Đề ra hướng giải quyết: Để có sự tương đồng giữa hai vế, cách đơn giản nhất có thể thấy là là làm sao cho vế phải củng có 2 tổng mà phải cân xứng, các đơn giản nhất là phân tích ab = \dfrac{ab}{2} + \dfrac{ab}{2}

Do thế ta sể cố gắng chứng minh: a\sqrt{b-1} \le \dfrac{ab}{2}; b\sqrt{a-1} \le \dfrac{ab}{2}

Chứng minh: a\sqrt{b-1} \le \dfrac{ab}{2} (Cả hai vế bđt đều không âm, a dương)

\Leftrightarrow \sqrt{b-1} \le \dfrac{b}{2}

\Leftrightarrow b - 1 \le \dfrac{b^2}{4}

\Leftrightarrow \dfrac{b^2}{4} - b + 1 \ge 0

\Leftrightarrow (\dfrac{b}{2} - 1)^2 \ge 0 (đúng)

Dấu bằng xảy ra khi vả chỉ khi b = 2

Tương tự ta cũng có: b\sqrt{a-1} \le \dfrac{ab}{2} và dấu ” =’ xảy ra khi và chỉ khi a = 2

Như vậy bất đẳng thức đúng và dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = 2.

Lưu ý quan trọng

Các cách làm, suy nghĩ 2 bài toán trên không phải là làm mò mà là những quan sát rất đơn giản, tính tế. Để làm được như thế cần có hai yếu tố: thứ nhất là bình tĩnh, quan sát vấn đề tốt; thứ hai là “dám làm” không sợ vấn đề.

Có thể một số bạn cho rằng những suy nghĩ trên không  mang tính tổng quát, toàn cục. Thực tế, những suy nghĩ đó là những suy nghĩ logic, sử dụng tính đối xứng của bài toán và là cách “bắt giò” bài toán. Những người ra đề toán khi ra đề cũng thường suy nghĩ như vậy.

Bài toán 3 ( Đề thi HSG lớp 9, TPHCM 2007 – 2008 )

Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh rằng:

a < \dfrac{a}{b+c+d}+ \dfrac{b}{c+d+a}+ \dfrac{c}{d+a+b}+ \dfrac{d}{a+b+c} < 2

( Dành cho bạn đọc suy nghĩ, quan sát, phân tích và giải quyết)

Một bài tập thêm

1) Cho a, b \in R. Chứng minh rằng a^2 + b^2 + c^2 \ge \sqrt{2} a(b+c)

2) Cho a, b \ge \dfrac{1}{4}. Chứng minh rằng a\sqrt{4b-1} + b\sqrt{4a-1} \le 4ab

3) Tập với cách phát triển những suy nghỉ đối xứng thành không đối xứng.

a) Cho a, b \ge 1.  Chứng minh rằng: a\sqrt{b-1} +2b\sqrt{a-1} \le 3ab

b) Cho a, b, c \ge 1. Chứng minh rằng:

ab\sqrt{c-1} + bc\sqrt{a-1} + 4ac\sqrt{b-1} \le 6abc

c) Cho a, b, c \ge 1. Chứng minh rằng:

a\sqrt{b-a} + b\sqrt{c-1} + c\sqrt{a-1} \le \dfrac{1}{2}(a^2 + b^2 + c^2)

(Trần Vĩnh Hưng)

Lời tác giả: Xin cảm ơn bạn Trần Vĩnh Hưng đã cung cấp cho chúng tôi một bài biết khá hay và hữu ích đối với các bạn mới làm quen với bất đẳng thức. Bài viết không nêu ra những phương pháp chứng minh, cũng như các kỹ thuật giải Bđt mà là cách nhìn nhận quan sát vấn đề, cách chúng ta suy nghĩ hợp lí, logic, từ đó tìm ra lời giải cho bài toán. Đó cũng là những gì chúng tôi mong muốn ở học sinh.

Chúng tôi còn mong muốn có nhiều bài viết hơn nữa  từ bạn Hưng cũng như các bạn khác để làm phong phú thêm nội dung . Mọi bài viết các bạn có thể gửi cho tôi theo địa chỉ: huynhhung5112@gmail.com

Nói thêm về tác giả bài viết: Hưng là cựu học sinh PTNK (1999 – 2002), là SV xuất sắc của trường ĐHKHTN TPHCM, giám khảo cuộc thi Olympiad Toán tại VN. Hưng chuẩn bị sang học tại trường ĐH Berkely –  Trường ĐH hàng đâu về toán của Mỹ.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

%d bloggers like this: