Tính các đại lượng hình học bằng cách lập phương trình

Để tính toán các đại lượng hình học chúng ta có nhiều cách tính: tính trực tiếp, vẽ đường phụ,…và hôm nay chúng ta cùng tìm hiểu một cách nữa đó là : lập phương trình để tính toán các đại lượng hình học. Chúng ta xét các ví dụ sau:

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác trong BD = a\sqrt{3}, DC= 3DA. Tính các cạnh của tam giác ABC.

Hướng dẫn giài:

Đặt AD = x. Vì BD là phân giác trong góc B nên ta có:

 \dfrac{1}{3} = \dfrac{AD}{DC} = \dfrac{AB}{BC} \Rightarrow CB =3 AB = 3x

Áp dụng định lý Pytagore cho các tam giác vuông ABC và ADB ta có:

+ AC^2 = BC^2 - AB^2 = 9AB^2 - AB^2= 8AB^2 hay (4x)^2 = 8AB^2 \Leftrightarrow AB^2 = 2x^2

+ AB^2 = BD^2 - AD^2 = (a\sqrt{3})^2 - x^2 = 3a^2 - x^2

Do đó ta có phương trình 2x^2 = 3a^2 - x^2 \Leftrightarrow x = a

Vậy AC = 4x = 4a, AB = \sqrt{2} a, BC = 3AB = 3\sqrt{2}a

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông có AB = c, AC = b. M là một điểm trên cạnh BC. Biết tỉ số khoàng cách từ M đền AB và AC bằng k. Tính AM.

Hướng dẫn giài:

Vẽ $latex MH \bot AC, MK \bot AB (H \in AC, K \in AB). Khi đó ta có:

\dfrac{MK}{MH} = k

Đặt MH = x \Rightarrow MK = kx.

Ta có MK // AC nên \dfrac{MK}{AC} = \dfrac{BM}{AC}

và MH // AB nên \dfrac{MH}{AB} = \dfrac{MC}{BC}

Do đó \dfrac{MK}{AC} +\dfrac{MH}{AB} =\dfrac{BM}{AC} +\dfrac{MC}{BC} = 1

hay \dfrac{kx}{b} +\dfrac{x}{c} = 1

Giải ra ta được x =\dfrac{bc}{b+ck}

Từ đó ta có :

AM^2 = AH^2 + MH^2 = MI^2 + MH^2 = x^2 + k^2x^2 =

x^2(1+k^2) = \left(\dfrac{bc}{c+bk}\right)^2(1+k^2)

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC vuôn tại A, đường cao AH, M là trung điểm của BC. Cho AB = 2a, MH = a. Tính các cạnh của tam giác ABC.

Hướng dẫn giài:

Đặt BC = 2x \Rightarrow AM = BM = CM = x. Ta có BC > AB \Rightarrow x > a

Ta chứng minh được:

\triangle CHA \sim \triangle CAB (gg) \Rightarrow \dfrac{CH}{CA} = \dfrac{CA}{CB}

\Rightarrow CA^2 = CB.CH (1)

Mặt khác áp dụng định lý Pytagore cho tam giác ABC ta có: BC^2 = AB^2 + AC^2 \Rightarrow AC^2 = BC^2 - AB^2 = 4x^2 - 4a^2 (2)

Xét hai trường hợp:

+ H nằm giữa B và M, khi đó CH = CM + HM = x + a

Từ (1) và (2) ta có phương trình:

2x(x+a) = 4x^2 - 4a^2 \Leftrightarrow x^2 - ax - 2a^2 = 0

\Leftrightarrow (x+a)(x-2a) = 0 \Leftrightarrow x = 2a

+ H nằm gữa C và M, khi đó ta có CH = CM - HM = x - a

Từ (1) và (2) ta có phương trình:

2x(x-a) = 4x^2 - 4a^2 \Leftrightarrow x^2 +ax - 2a^2 = 0

\Leftrightarrow (x-a)(x+2a) = 0 \Leftrightarrow x = a

( không thỏa)

Vậy BC = 2x = 4a, AC = 2\sqrt{3}a

Ví dụ 4: Cho hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB = 2a, chiều cao bằng \sqrt{3}a, đường chéo BD vuông góc với cạnh bên BC. Tính đáy lớn và cạnh bên.

Hướng dẫn giài:

Gọi H và K là hình chiếu của AB trên CD. Ta có DH = CK, AB = HK = 2a, BK = a

Đặt CK = x. Ta có \triangle CKB \sim BKD (g.g) \Rightarrow \dfrac{CK}{BK} =\dfrac{BK}{KD} \Rightarrow BK^2 = CK.KD.

hay 3a^2 = x(2a+ x)

Giải phương trình ta được x = a

Vậy CD = 4a, BC = \sqrt{2}a

Bài tập rèn luyện thêm:

Bái 1:

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH = \dfrac{\sqrt{6}}{3}, đường trung tuyến CM = \dfrac{3}{2}AB. Tính các cạnh của tam giác.

Bài 2:

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường phân giác trong vuông góc với đường trung tuyến BM. Tính các cạnh của tam giác ABC biết AD =\sqrt{2} l .

Bài 3:

Tính diện tích tam giác ABC có đường cao AH = 6cm, biết rằng AH chia góc A theo tỉ số 1 : 2 và chia cạnh BC thành hai phần mà đoạn nhỏ bằng 3cm.

Bài 4:

Điểm M nằm trên cạnh huyền của một tam giác vuông diện tích 100cm^2 và có khoảng cách đến hai cạnh góc vuông bằng 4cm và 8cm. Tính độ dài hai cạnh góc vuông.

Bài 5:

Tính diện tích của tam giác ABC biết độ dài 3 cạnh lần lượt là 4cm, 6cm và 8cm.

Bài 6:

Chứng minh rằng diện tích tam giác có độ dài các cạnh a, b, c là : \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}. Trong đó p là nửa chu vi của tam giác. (Công thức Hê-rông)

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

%d bloggers like this: