Để tính toán các đại lượng hình học chúng ta có nhiều cách tính: tính trực tiếp, vẽ đường phụ,…và hôm nay chúng ta cùng tìm hiểu một cách nữa đó là : lập phương trình để tính toán các đại lượng hình học. Chúng ta xét các ví dụ sau:
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác trong . Tính các cạnh của tam giác ABC.
Hướng dẫn giài:
Đặt . Vì BD là phân giác trong góc B nên ta có:
Áp dụng định lý Pytagore cho các tam giác vuông ABC và ADB ta có:
+ hay
+
Do đó ta có phương trình
Vậy
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông có . M là một điểm trên cạnh BC. Biết tỉ số khoàng cách từ M đền AB và AC bằng . Tính AM.
Hướng dẫn giài:
Vẽ $latex MH \bot AC, MK \bot AB (H \in AC, K \in AB). Khi đó ta có:
Đặt .
Ta có MK // AC nên
và MH // AB nên
Do đó
hay
Giải ra ta được
Từ đó ta có :
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC vuôn tại A, đường cao AH, M là trung điểm của BC. Cho AB = 2a, MH = a. Tính các cạnh của tam giác ABC.
Hướng dẫn giài:
Đặt . Ta có
Ta chứng minh được:
Mặt khác áp dụng định lý Pytagore cho tam giác ABC ta có:
Xét hai trường hợp:
+ H nằm giữa B và M, khi đó
Từ (1) và (2) ta có phương trình:
+ H nằm gữa C và M, khi đó ta có
Từ (1) và (2) ta có phương trình:
( không thỏa)
Vậy
Ví dụ 4: Cho hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB = 2a, chiều cao bằng , đường chéo BD vuông góc với cạnh bên BC. Tính đáy lớn và cạnh bên.
Hướng dẫn giài:
Gọi H và K là hình chiếu của AB trên CD. Ta có
Đặt . Ta có .
hay
Giải phương trình ta được
Vậy
Bài tập rèn luyện thêm:
Bái 1:
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao , đường trung tuyến . Tính các cạnh của tam giác.
Bài 2:
Cho tam giác ABC vuông tại A có đường phân giác trong vuông góc với đường trung tuyến BM. Tính các cạnh của tam giác ABC biết .
Bài 3:
Tính diện tích tam giác ABC có đường cao AH = 6cm, biết rằng AH chia góc A theo tỉ số 1 : 2 và chia cạnh BC thành hai phần mà đoạn nhỏ bằng 3cm.
Bài 4:
Điểm M nằm trên cạnh huyền của một tam giác vuông diện tích và có khoảng cách đến hai cạnh góc vuông bằng 4cm và 8cm. Tính độ dài hai cạnh góc vuông.
Bài 5:
Tính diện tích của tam giác ABC biết độ dài 3 cạnh lần lượt là 4cm, 6cm và 8cm.
Bài 6:
Chứng minh rằng diện tích tam giác có độ dài các cạnh a, b, c là : . Trong đó p là nửa chu vi của tam giác. (Công thức Hê-rông)
Filed under: TOÁN 8 | Leave a comment »